di Paola Longo (a)

Abstract: Il problema, vissuto come espressione di percorso matematico, ha radici antiche. In questo excursus tra la matematica e la filosofia del pensiero, vengono evidenziati alcuni punti di vista di varie personalità note e meno note del mondo della matematica. E’ un punto di partenza per opportune riflessioni.

Il termine “problema” deriva dal latino “prŏblēma”, che viene a sua volta dal greco « πρόβλημα » (próblēma), che significa letteralmente: questione proposta, derivato dal verbo probàllein, il cui significato si riferisce al “mettere davanti, proporre”, ma viene anche usato come riferimento ad ostacolo, impedimento, fornendo una prima indicazione rispetto a talune generiche attribuzioni negative della parola.

Infatti la preposizione greca “pro”, significa davanti, prima, e nei nomi composti di origine greca indica posizione anteriore nello spazio oppure precedenza nel tempo. Sono esempi del significato di questo prefisso le parole pro-feta, pro-filassi, pro-gramma, pro-nao, pro-pedeutico, pro-boscide, pro-emio, ecc.

La matematica è problematica per sua natura, nel senso che ha avuto origine da problemi, cioè da domande che qualcuno si è posto come proprie, e si accresce inserendo al suo interno le costruzioni via via elaborate nella ricerca di risposte. Non si tratta di problemi generici, ma di questioni che hanno portato all’invenzione di un linguaggio simbolico dotato di regole formali e ad un corpus di nozioni tra loro collegate. Hanno in comune un possibile metodo di indagine.

Leggiamo alcune opinioni sulla questione “problemi” :

(1) G. Polya, matematico ungherese, nato a Budapest il 13/12/1887 e morto a Palo Alto (California) il 7/9/1985.

Polya : “Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile. Risolvere problemi è un’impresa specifica dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere umano: si può considerare il risolvere problemi come l’attività più caratteristica del genere umano”.

Quindi porsi davanti ad un problema (o ad una situazione problematica) e cercarne una o più soluzioni non è solo una caratteristica della matematica, ma è in generale una facoltà della ragione, dono specifico del genere umano. Il problema nasce quando la soluzione non è evidente, ma occorre “aggirare un ostacolo” attraverso l’opera creativa della fantasia, diversa dall’applicazione meccanica e ripetitiva di procedimenti standardizzati (esercizi, utilissimo rinforzo, ma non autentici problemi).

(2) Karl Dunker, psicologo tedesco della Gestalt, nato a Leipzig il 2/2/1903, morto suicida a 37 anni, il 23/2/1940.

Dunker “Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta, ma non sa come raggiungerla”.

E’ importante sottolineare che la molla iniziale è l’accettazione di uno scopo, è questo scopo che l’uomo “mette davanti” al suo sguardo, al suo cuore, alla sua mente, cioè davanti al suo io. Lo scopo può essere strettamente personale, ad esempio la sopravvivenza in una situazione estrema, la riconquista della fiducia di un amico dopo qualche incomprensione, evitare la dispersione di calore in un locale, ottimizzare l’uso dei propri soldi, ecc., oppure può essere uno scopo consegnato, accettato da un altro, come avviene normalmente nella scuola. In questo caso il problema posto dall’altro diventa un problema personale solo se il soggetto fa sua la meta.

Il problema di Talete : da Lombardo Radice a Plutarco

Lucio Lombardo Radice (Catania 10/7/1916, Bruxelles 21/11/1982) matematico, pedagogista, politico, dirigente comunista.

Dalla madre Gemma Harasim apprese “il valore formativo della scienza e della matematica” ; in particolare dal padre, Giuseppe Lombardo Radice, apprese : “…uno spirito non solo di tolleranza ma di apertura e comprensione verso persone diverse…”. Prosegue : “Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica e non anche cultura generale, solo calcolo e non anche filosofia cioè pensiero valido per tutti, non avrei mai fatto il matematico (non continuerei a farlo)”. (3)

Così Lucio Lombardo Radice descrive l’esperienza di Talete :

“Quando il saggio Talete di Mileto, circa seicento anni prima della nascita di Cristo, si trovava in Egitto, gli fu richiesto da un messo del faraone di calcolare l’altezza della piramide di Cheope: correva infatti voce che il sapiente sapesse misurare l’altezza di elevate costruzioni per arte geometrica, senza salirvi sopra. Talete si appoggiò ad un bastone: attese fino al momento in cui, verso la metà della mattina, l’ombra del suo bastone, tenuto verticale, aveva la lunghezza uguale al bastone stesso; disse allora al messo: “Va, misura subito l’ombra della piramide: essa in questo momento è lunga quanto la piramide stessa”. “

Plutarco, biografo, scrittore e filosofo greco vissuto sotto l’Impero romano, nacque a Cheronea intorno al 46 d.C., morì a Delfi tra il 120 e il 125 d.C. Ebbe anche la cittadinanza romana e ricoprì incarichi amministrativi. Studiò ad Atene e fu fortemente influenzato dalla filosofia di Platone. Durante l’ultima parte della sua vita fu sacerdote al Santuario di Delfi. La sua opera, scritta in greco, fu quasi dimenticata nell’occidente cristiano a causa dello Scisma d’Oriente (1054), quando cominciò a riaffiorare fu tradotta in latino e in volgare. E’ divisa in due grandi blocchi: Vite Parallele e Moralia. E’ suo questo brano:

“Nilax si rivolge a Talete: “Mentre egli ti onora, particolarmente ti ammira per diverse grandi realizzazioni e particolarmente per il modo in cui, con piccolo sforzo e senza l’aiuto di strumenti matematici, tu trovasti così accuratamente l’altezza delle piramidi. Perché, avendo fissato il tuo bastone al vertice dell’ombra gettata dalla piramide, due triangoli erano formati dai raggi tangenti del sole, e da questi tu mostravi che il rapporto di un’ombra all’altra era uguale al rapporto dell’altezza della piramide al bastone”. ”

Plutarco e Lombardo Radice: lo stesso episodio, due autori a distanza di circa 2000 anni per descrivere la figura di Talete e per mostrare lo spirito di un matematico in azione: misurare l’altezza di costruzioni molto elevate sostituendo alla misura diretta (poco agibile) con un metodo indiretto prodotto dal pensiero.

La risposta di Talete sarà apparsa forse magica al messo incaricato di misurare l’ombra della piramide! Questa prestazione si sarà ripetuta probabilmente molte volte perché mentre nel brano riportato da Lombardo Radice, Talete aspetta che l’ombra produca due triangoli rettangoli isosceli (uno riguarda l’ombra del bastone, l’altro l’ombra della piramide), nell’elogio di Nilax c’è il riferimento alla previsione permessa dal riconoscimento della similitudine dei due triangoli rettangoli, indipendentemente dall’inclinazione del raggio solare.

Possiamo chiederci se Talete fu capace di operare quelle misure perché aveva prima scoperto molte proprietà della similitudine dei triangoli o viceversa se aveva intuito ed esplicitato la similitudine dei triangoli mentre cercava di rispondere ad un problema reale. Non abbiamo una cronaca del modo con cui il pensiero di Talete produsse idee e le mise al servizio di esigenze altrui, ma possiamo immaginare come i due momenti, osservazione di situazioni ed uso di strumenti elaborati dalla ragione, siano strettamente concatenati. Possiamo immaginare Talete come un uomo che ascoltava, osservava, argomentava, provava, ecc. Cioè non uno chiuso in una torre d’avorio a gestire pensieri fumosi, ma un osservatore ed uno sperimentatore.

Talete ha risolto un bel problema, è riuscito ad escogitare un procedimento per conoscere l’altezza di un edificio senza che nessuno dovesse correre i rischi comportati da una verifica diretta, talvolta difficile, talvolta addirittura impossibile, cioè ha sostituito una misura indiretta ad una misura diretta, un procedimento ormai classico nella fisica, utilizzando un ragionamento matematico.

Fonti, note e riferimenti bibliografici:

(1) G. Polya, “Come risolvere i problemi di matematica, logica ed euristica nel metodo matematico”, Feltrinelli 1967; “La scoperta matematica” Feltrinelli 1971
(2) Karl Dunker,, “La psicologia del pensiero produttivo”, ed. Giunti; “Coscienza e vita” ed. Biancospini.
(3) Dal testo : “La matematica da Pitagora a Newton, Franco Muzzio Editore

L’autrice :

(a) PROF.SSA PAOLA LONGO: Laureata in matematica; assistente di ruolo di Analisi Matematica presso Facoltà di Ingegneria, Politecnico di Torino. Ricercatrice in didattica della matematica con numerose pubblicazioni su Atti di convegni e riviste. Socio fondatore dell’Associazione Ma.P.Es (Matematica Pensiero Esperienza http://ma-pes.it ). Socio Fondatore Grimed (Gruppo Ricerca Matematica e Difficoltà www.grimed.net ).